Один поезд отходит от Станции A до Станции B в 18.00 со скоростью 40 миль в час. Второй выходит из Станции B в 19.00, двигаясь по встречной ветке к Станции A со скоростью 50 миль в час. Расстояние между станциями 400 миль. Когда поезда встретятся?

Вероятно, будучи доведенными до испуга этими имеющими дурную репутацию гипотетическими поездами, многие педагоги последние годы привлекают все новые и новые примеры из реального мира чтобы изучать абстрактные концепции. Идея заключается в том, что, делая математику более конкретной, мы облегчаем ее изучение.

Эта идея может оказаться неверной, если правы исследователи из Университета штата Огайо (Ohio State University). Проводя эксперимент, исследователи предположили, что может быть лучше оставить яблоки, апельсины и локомотивы в реальном мире, а в классе сфокусировать внимание на абстрактных уравнениях, в нашем случае 40 (t + 1) = 400 - 50t, где t – время движения в часах второго поезда. (Ответ см. ниже.)

"Побудительная причина исследования состояла в том, чтобы рассмотреть широко распространенное мнение по поводу преподавания математики, а именно, что, разбирая с учениками многочисленные конкретные примеры, мы приносим пользу обучению", говорит Дженифер Камински (Jennifer A. Kaminski), исследователь Центра изучения познания (Center for Cognitive Science) штата Огайо. "Это действительно было только верованием."

Доктор Камински и ее коллеги Владимир Слоутский (Vladimir M. Sloutsky) и Эндрю Хеклер (Andrew F. Heckler) сделали нечто довольно редкое в педагогических исследованиях: поставили "рандомизированный" контролируемый эксперимент. Их результаты появились в пятничном номере журнала "Journal Science".

Хотя эксперимент проводился с учениками колледжа, исследователи полагают, что их выводы могут быть также применены к изучению математики от элементарной до высшей школы, и они будут предметом дебатов по поводу лучших методов обучения.

В ходе эксперимента учащиеся колледжа изучали простую, но незнакомую математическую систему, по существу набор правил. Одни изучали систему с помощью чисто абстрактных символов, а другие – на конкретных примерах вроде объединения жидкости в мерной посуде или теннисных шариков в контейнерах.

Затем учеников тестировали в другой ситуации (им говорили, что это детская игра), которая базировалась на той же самой математике. "Мы говорили ученикам, что они могут использовать знания, которые только что приобрели, чтобы понять правила этой игры", говорит доктор Камински.

Учащиеся, которые изучали математику абстрактно, хорошо постигали правила игры. Те, кто обучался на примерах о мерных сосудах и теннисных мячиках, справлялись с заданием немного лучше, чем можно было бы ожидать при простом угадывании. Ученики, которым показывали абстрактные символы после конкретных примеров, выполняли задание лучше, чем те, кто учился на сосудах и мячах, но не так хорошо, как те, кто учился только на абстрактных символах.

Проблема с примерами из реального мира, поясняет доктор Камински, состояла в том, что они затмевали лежащую в их основе математику, и ученики оказывались неспособными перенести свои знания на новую проблему.

"Они имели склонность к вспоминанию специфики, двух поездов, движущихся в ночи," говорит доктор Камински. "Это действительно проблема нашего внимания, которое притянуто ко второстепенной информации."

Исследователи говорят, что у них есть экспериментальные подтверждения аналогичного эффекта у 11-летних детей. Полученные выводы расходятся с тем, что доктор Камински называла "распространенным повсеместно предположением", согласно которому преподаватели математики считают, что конкретные примеры помогают детям лучше понимать математику.

Но если выводы, полученные в Огайо, также применимы к большему количеству уроков математики, тогда изучение дробей на ломтиках пиццы или статистики в процессе вытягивании шариков из мешка может оказаться контрпродуктивным. "Существуют причины полагать, что эффект действует на всех, включая младших учеников," говорит доктор Камински.

Она говорит, что даже эффективность использования кубиков и прочих средств для манипуляции, которая стала общепризнанной для дошкольного возраста и в детских садиках, остается непроверенной. Не доказано, что уроки, где дети учатся считать с помощью кубиков, ведут к лучшему пониманию чисел, чем достигается с помощью других более абстрактных подходов.

Исследователи в штате Огайо начали новые эксперименты с учениками начальной школы.

Другие математики назвали результаты интересными, но предостерегают от чрезмерного их обобщения. "Один формат не может подходить везде," сказал Дуглас Клементс (Douglas H. Clements), профессор педагогики (professor of learning and instruction) из университета Буффало (University of Buffalo). "Но это ни в коей мере не отрицает того, что нашли эти ребята."

Некоторым детям требуется манипулировать предметами, чтобы выучить основы математики, сказал доктор Клементс, но только в качестве стартовой точки.

"Это очаровательная статья," сказал Дэйвид Брессоуд (David Bressoud), профессор математики в Макалестер колледж в Сант-Паул (Macalester Collage in St.Paul) и выбранный недавно президентом Математической Ассоциации Америки. "В некоторых отношениях, она не слишком удивительна."

Что касается ответа математической задачи, описанной в начале данной статьи, два поезда встретятся в 23.00 на полпути между Станциями A и B. Или, используя абстрактный метод записи, t = 4.